محاسبه ابعاد فراکتال ها

اندازه گیری بعد فراکتال به طور کلی بر روی لبه های یک شکل انجام می شود ، اما این نوع محاسبات را می توان در یک تصویر 1D ، 2D یا حتی یک تصویر سه بعدی انجام داد. با استفاده از افزونه Fraclac از ImageJ ، می توان با استفاده از تکنیک شمارش جعبه ، هر دو ابعاد ، بیش از منطقه و بالای لبه یک Fractal Mandelbrot را اندازه گیری کرد.

واژه‌های کلیدی: کادر کادر ، Mandelbort Fractal ، ابعاد فراکتال ، ImageJ

1. معرفی

اندازه گیری های تاریخی با یک عملکرد خط مستقیم بر روی خط ساحل انگلیس ساخته شده توسط Benoit Mandelbrot با استفاده از مقیاس های مختلف که به عنوان "میله های اندازه گیری" ارائه شده است [1،2] ، که مبتنی بر ایده لوئیس فرای ریچاردسون است [3] ، می تواند مستقیماً با هر یک محاسبه شوداز داده های ساده (جداول 1 و 2) ، در زیر نشان داده شده است.

محاسبات رگرسیون خطی از داده های اول (جدول 1) مستقیماً از طریق مقیاس انجام می شود ، در حالی که در جدول داده دوم ، از بیشترین میزان به عنوان مرجع استفاده می شود (جدول 2).

نتیجه تنظیم خطی بر روی داده های هر یک از هر دو جدول ، معادلات (1)

با معادله ای مانند نشان داده شده (1) Mandelbrot شیب AS AS = 1 - D را مشخص کرد

اگر از تکنیک شمارش جعبه برای محاسبه مجدد ابعاد فراکتال خط ساحل انگلیس استفاده شود ، (جدول 3) باید استفاده شود [5].

نتیجه استفاده از تنظیم خطی بر روی داده ها (جدول 3) معادله نشان داده شده در زیر است (معادله (4))

and it could be seen that the fractal dimension is given directly form the slope of the equation D B = 1.27 =1.27> .

بنابراین دو روش برای محاسبه بعد فراکتال وجود دارد ، اما در صورت استفاده از "میله های اندازه گیری" ، برای به دست آوردن نتیجه باید برخی از عملیات اضافی انجام شود. در تکنیک "Fractal Box Counting Fractal" نتیجه مستقیماً شیب خط مستقیم است (معادله (4)) [6].

2. برنامه ImageJ

برنامه "ImageJ" یک نرم افزار رایگان از پروژه "Scijava OSS" است که برای پردازش تصاویر استفاده می شود ، با این ابزار قدرتمند می توانیم هر فایل گرافیکی را دستکاری و اندازه گیری کنیم و در رابطه با افزونه Fraclac (که از آن برای انجام محاسبات استفاده می شودFractals) ما می توانیم ابعاد فراکتال را بر اساس روش شمارش جعبه (BC) بدست آوریم [6].

اما نسخه ای که با سیستم عامل مربوطه کار می کند باید انتخاب شود.

دوباره برنامه را باز کنید ، به افزونه ها بروید و باید گزینه "تجزیه و تحلیل فراکتال" را به عنوان یک زیرنویس اضافی و "Fraclac" به عنوان یک فرآیند فرعی مشاهده کنید.

اکنون ، تمام "محیط" آماده است تا اولین اندازه گیری های ما را انجام دهد. سپس یک فایل گرافیکی در قالب PNG ، JPG یا BMP باید باز شود ، بنابراین حتی اگر محاسبات در پیکسل ها انجام شود ، ترجیح داده می شود که این گرافیک دارای مقیاس چاپی باشد.

2. 1 اندازه گیری اولیه

به عنوان اولین مرحله باید مقیاس در شکل ایجاد شود ، بنابراین با این هدف ، یک فایل گرافیکی را باز کنید و در نوار ابزار ، ابزار "مستقیم" را انتخاب کنید ، همانطور که در شکل 1 نشان داده شده است.

شکل 1 . نوار ابزار برنامه ImageJ

در طول Mandelbrot شکل 2 ، مقیاس را پیدا کرده و با دکمه Shift و ماوس فشار داده شده ، یک انتهای مقیاس را لمس کنید و بدون انتشار به انتهای دیگر بروید ، سپس آزاد کنید.

شکل 2 . شکل Mandelbrot با اندازه گیری در مقیاس

پس از این ، به منو بروید و بیش از "تجزیه و تحلیل" را انتخاب کنید "Set Scale" ، همانطور که در شکل 3 نشان داده شده است ، مقدار "فاصله شناخته شده" را در مقیاس قرار دهید و در واحد نام مقیاس را بنویسید.

شکل 3. تنظیم مقیاس شکل

محاسبات بر روی شکل باز می تواند انجام شود ، اما همچنین می توان استراتژی دیگری را انجام داد ، یعنی با دکمه "مستطیل" نوار ابزار منطقه ای را انتخاب کنید که بخواهد آن را اندازه گیری کند ، بدون مقیاس و در منو "تصویر" را انتخاب کنید وفرآیند فرعی "کپی" ، شکل دیگری را با نام دیگری ارائه می دهد. بنابراین دو شکل وجود دارد و اصلی می تواند بسته شود. با استفاده از این تصویر جدید ، "فرآیند" را در منو انتخاب کرده و به فرآیند "باینری" بروید و فرآیند "باینری" را بسازید. حال اگر می خواهد بعد فراکتال محیط شکل را محاسبه کند ، باید لبه ها را پیدا کند (شکل 4) یا می تواند گرافیک را تشریح کند ، در این مرحله از فرآیند که تصویر برای اندازه گیری آماده شده است.

شکل 4. منو برای یافتن لبه های شکل

Then select “Analize” on the menu go to “Tools” process and “Fractal Box Counting” sub-process, as is shown in Figure 5, this procedure gives a first result of the fractal dimension D B = 1.1955 =1.1955>در نتیجه تکنیک "شمارش جعبه" (شکل 6) ، اما این فقط یک اقدام اولیه است ، به این دلیل که جعبه ها نمی توانند دیده شوند ، فقط نتیجه.

شکل 5منو برای محاسبه مستقیماً بعد فراکتال با روش شمارش کادر.

شکل 6. نتیجه محاسبات بعد فراکتال بر روی شکل ماندلبروت

3. با استفاده از افزونه Fraclac

برای استفاده از افزونه "fraclac" بر روی هر شکل ، همان درمان باید مانند گذشته انجام شود ، مقیاس شکل را پایدار کنید ، یعنی تأیید هر اندازه گیری ، "binarize" را تصویر کنید و آن را کپی کنید و اگر می خواهیدبعد فراکتال محیط را محاسبه کنید ، لبه ها را پیدا کنید یا شکل را تشریح کنید.

پس از آماده شدن شکل، به بخش "Plugins" از منو بروید و در فرآیند "تجزیه و تحلیل فراکتال"، همانطور که در شکل 7 نشان داده شده است، به زیر فرآیند "FracLac" ملحق شوید.

شکل 7. منو به فرآیند فرعی FracLac

یک نوار ابزار جدید باز می شود، از آنجا دکمه "BC" که در گوشه بالا سمت چپ قرار دارد باید انتخاب شود، یک Pop Up ظاهر می شود که باید پذیرفته شود و شامل "انتخاب حالت قدیمی" نباشد. یک منوی مشخصه ظاهر می شود و در "طراحی شبکه" شماره یک را قرار می دهد، به این دلیل که شبکه باید فقط یک مبدا داشته باشد، اگر بیش از یک مبدا می خواهد، این عدد را تغییر دهید. همانطور که روی یک دایره قرمز روی شکل 8 نشان داده شده است، "گزینه های گرافیکی" را تغییر دهید. اگر می خواهید بعد فراکتالی یک خط محیطی را اندازه گیری کنید، فقط این تغییرات را ایجاد کنید.

شکل 8 . منوی ویژگی های FracLac

After given the characteristics of box counting, must press the“Scan” button (that is below the “Box Counting” button), then “FracLac” operate it's inteal calculations and gives various results, two of them are shown in Figure 9, the image in “tif” format and the box counting data with D B = 1.1965 =1.1965>، مقدار به دست آمده بسیار نزدیک است همانطور که قبلا محاسبه شد اما یکسان نیست.

شکل 9. دو مورد از نتایج تجزیه و تحلیل داده شده توسط عملیات افزونه

تصویر "tif" 14 لحظه از محاسبات را بر روی محیط نشان می دهد که می توان هر یک از آنها را به عنوان یک شکل جداگانه استخراج کرد، چهار مورد از آنها در شکل 10 نشان داده شده است.

شکل 10. چهار لحظه از محاسبات شمارش جعبه

داده‌های محاسبه را می‌توان در قالب «csv» ذخیره کرد، که با برنامه‌ها سازگار است، مانند Numbers، Excel، Mathematica و غیره. بعد فراکتال نیز در این فایل آورده شده است، اما اگر به دلایلی بخواهید تنظیم رگرسیون خطی را انجام دهید،همانطور که در شکل 11 نشان داده شده است، ستون های دو و سه مناسب هستند.

شکل 11. تنظیم خطی ستون های دو و سه داده از فایل با فرمت csv

سپس فرآیند محاسبه ابعاد فراکتال از محیط هر شکل را می توان به دو روش انجام داد. یکی با عملکرد خودکار ImageJ (اما هیچ کادری نمی بینیم)، که یک نمودار و یک فایل csv می دهد. اندازه جعبه توسط کاربر تعریف می شود و بین شش تا نه سایز می باشد. فرآیند دیگر با پلاگین "FracLac" است، که در آن تمام مراحل فرآیند حتی جعبه های استفاده شده در چهارده لحظه محاسبه نشان داده می شود.

نتایج بعد فراکتال به دست آمده در هر دو روش باید مقادیر بسیار نزدیک به یکدیگر را ارائه دهد، نه دقیقاً یکسان، زیرا اولی با 9 اندازه جعبه یا کمتر ساخته می شود و دومی با اندازه 100 جعبه ساخته می شود.

4. بعد فراکتال ناحیه یک تصویر

اکنون ، از آنجا که DB منطقه یک شکل اندازه گیری می شود ، در بخش "نوع تصویر" ، خط اول باید "از باینری استفاده کند" اما در خط دوم "پس زمینه سیاه" را انتخاب کنید اگر پس زمینه سیاه باشد ، این یکی استاین می خواهد از این امر جلوگیری شود ، به این معنی است که اندازه گیری از قسمت سفید شکل انجام می شود. اگر می خواهد قسمت سیاه شکل را اندازه گیری کند ، "پس زمینه سفید قفل" را انتخاب کنید ، پارامترهای دیگر مطابق آنچه در شکل 12 نشان داده شده است ، تنظیم شده اند.

Figure 12 . BC menu's characteristic for measurement of D B >بیش از یک منطقه شکل

"OK" را در پایین منوی قبل از میلاد انتخاب کنید ، و "پاپ آپ" "خلاصه خط رگرسیون نمایش" ظاهر می شود ، که قبول می کند.

Once the characteristics of the measurements have been established select the “Scan” button, which is just below the “Box Counting” button. The “FracLac” plugin performs its inteal procedures and gives us several results, but the box count is now done on the white area and the result of the fractal dimension is obtained, which is D B = 1.7614 =1.7614>همانطور که در شکل 13 مشاهده می شود.

Figure 13 . Results of D B >بیش از یک منطقه شکل

The data file is saved in “csv” format and the necessary calculations are made to fit a straight line with the data in columns 2 and 3, it must be taken into account that the natural logarithm of the reciprocal of the scale is plotted against the logarithm natural of the number of boxes, the equation of the straight line is: y = 1.76124 x + 0.31013 and the result of the fractal dimension is directly the slope, which is D B = 1.76124 =1.76124> .

5. نتیجه گیری ها

بنابراین این سؤال وجود دارد ، ابعاد فراکتال چه اندازه گیری می کند؟برای پاسخ به آن ، بر اساس روش "شمارش جعبه" ، بیایید یک خط طول A ، یک مربع و یک مکعب با طرفین نیز بگیریم و ابعاد فراکتال آنها را اندازه گیری کنیم (شکل 14).

Figure 14 . Calculation of fractal dimension D B >بیش از یک خط ، یک مربع و یک مکعب

Using the box counting technique it has been measured in this work the fractal dimension D B >از یک شکل Fractal Mandelbrot با دو فرآیند متفاوت [7،8،9]:

• اندازه گیری بعد فراکتال محیط تصویر.

• اندازه گیری بعد فراکتال منطقه تصویر.

هر دو اندازه گیری از بعد فراکتال متفاوت است و هر دو به این معنی است که آنها از بعد اقلیدسی مربوطه تا چه حد فاصله دارند [10،11].

منابع

[1] Mandelbrot B. هندسه فراکتال طبیعت. W. H. فریمن ، 1982.

[2] Mandelbrot B. خودفین و بعد فراکتال. Physica Scripta ، 32 (4): 257-260 ، 1985.

[3] Mandelbrot B. سواحل انگلیس چقدر طول می کشد؟خود شفقت آماری و بعد کسری. علوم ، 156 (3775): 636-638 ، 1967.

[4] Gatzouras D. ، Lalley S. Hausdorff and Box ابعاد فراکتال های برخی از خودآب. مجله ریاضیات دانشگاه ایندیانا ، 41 (2): 533-568 ، 1992.

[5] Husain A. ، Reddy J. ، Bisht D. ، Sajid M. Fractal DIMENSION از خط ساحلی استرالیا. علمیRep. ، 11 ، 6304 ، 2021.

[6] اشنایدر C. ، Rasband W. ، Eliceiri K. NIH Image to ImageJ: 25 سال تجزیه و تحلیل تصویر. روش های طبیعت ، 9: 671-675 ، 2012.

[7] Shanmugavadivu P. ، Sivakumar V. ، Sudhir R. Fractal Dimension-dimension-divension تجزیه و تحلیل فضایی از ماموگرافی دیجیتال. مجله فیزیک اروپا موضوعات ویژه ، 225: 137-146 ، 2016.

[8] Bárány B. ، Hochman M. ، Rapaport A. Hausdorff Dimension of Planar Selfafine. اختراعات ریاضی ، 16: 601-659 ، 2019.

[9] Christensen H. ، راننده O. ماهیت فراکتال ابرها در مدل های جهانی حل طوفان. ARXIV: 2108. 08565v1 ، 2021.

[10] Strogatz H. دینامیک غیرخطی و هرج و مرج: با کاربردهای فیزیک ، زیست شناسی ، شیمی و مهندسی. Westview Press ، شرکت بولدر ایالات متحده ، چاپ دوم ، 2015.

[11] Devaney R. اولین دوره در تئوری و آزمایش سیستم های دینامیکی هرج و مرج. CRC Press ، فلوریدا ایالات متحده ، چاپ دوم ، 2020.